a) -Xét △ABC có: AM, BN, CP lần lượt là ba đường phân giác (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB};\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác).

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC}=1\)

b) Ta có:\(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\) (cmt)

 \(\Rightarrow\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{MC}{AC}=\dfrac{MB+MC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)

\(\Rightarrow MC=\dfrac{BC.AC}{AB+AC}\)

-Tương tự: \(NC=\dfrac{BC.AC}{AB+BC}\) ; \(BP=\dfrac{BC.AB}{AC+BC}\)

-Xét △AMC có: CI là đường phân giác (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}=\dfrac{AC}{MC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{MI}+1=\dfrac{AC}{MC}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AC}{\dfrac{AC.BC}{AB+AC}}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{1}{\dfrac{BC}{AB+AC}}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MI}=\dfrac{AB+AC}{BC}+1=\dfrac{AB+AC+BC}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{BC}{AB+AC+BC}\)

-Tương tự: \(\dfrac{NI}{NB}=\dfrac{AC}{AB+AC+BC};\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB}{AB+AC+BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MA}+\dfrac{NI}{NB}+\dfrac{PI}{PC}=\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC+BC}=1\)

Đây là định lí ceva, bạn có thể tham khảo thêm các cách chứng minh khác trên mạng nếu cần.

a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{ma+nc}{mb+nd}=\dfrac{mbk+ndk}{mb+nd}=k\)

\(\dfrac{pa+qc}{pb+qd}=\dfrac{pbk+qdk}{pb+qd}=k\)

Do đó: \(\dfrac{ma+nc}{mb+nd}=\dfrac{pa+qc}{pb+qd}\)

Lời giải:

$AB,BC,AC$ tỉ lệ với $4,7,5$ \(\Leftrightarrow \frac{AB}{4}=\frac{BC}{7}=\frac{CA}{5}(*)\)

a) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với \((*)\) ta có:

\(\frac{MC}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{MC}{BM+MC}=\frac{5}{4+5}\Leftrightarrow \frac{MC}{BC}=\frac{5}{9}\)

\(\Rightarrow MC=\frac{5}{9}BC=\frac{5}{9}.18=10\) (cm)

b) Sử dụng công thức đường phân giác kết hợp với \((*)\) ta có:

\(\frac{NC}{NA}=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow \frac{NC}{7}=\frac{NA}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{NC+NA}{7+4}=\frac{NC}{7}=\frac{NA}{4}=\frac{NC-NA}{7-4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{AC}{11}=\frac{3}{3}=1\Rightarrow AC=11\) (cm)

c)

Vì $AO$ là phân giác góc $PAC$, $BO$ là phân giác góc $PBC$ nên áp dụng công thức đường phân giác:

\(\frac{OP}{OC}=\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BC}\)

AD tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{OP}{OC}=\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BC}=\frac{AP+BP}{AC+BC}=\frac{AB}{AC+BC}\)

Theo \((*)\Rightarrow AC=\frac{5}{4}AB; BC=\frac{7}{4}AB\)

\(\frac{OP}{OC}=\frac{AB}{AC+BC}=\frac{AB}{\frac{5}{4}AB+\frac{7}{4}AB}=\frac{AB}{3AB}=\frac{1}{3}\)

d) Áp dụng công thức đường phân giác:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\\ \frac{NC}{NA}=\frac{BC}{AB}\\ \frac{PA}{PB}=\frac{AC}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC}=1\)

(đpcm)

Chứng minh \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}\)

Kẻ \(MH\perp AB, MK\perp AC, CL\perp AB\)

Ta có bổ đề sau: \(\sin (2\alpha)=2\sin \alpha\cos \alpha\)

Chứng minh :

Thật vậy, xét một tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$, góc \(\angle ACB=\alpha\)

Khi đó: \(AM=MB=MC=\frac{BC}{2}\Rightarrow \triangle AMC\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \angle MAC=\angle MCA=\alpha\)

\(\Rightarrow \angle HMA=\angle MAC+\angle MCA=2\alpha\)

\(\Rightarrow \sin 2\alpha=\sin HMA=\frac{HA}{MA}=\frac{HA}{\frac{BC}{2}}=\frac{2HA}{BC}\) (1)

Lại có: \(\sin \alpha=\sin \angle ACB=\frac{AH}{AC}\)

\(\cos \alpha=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow \sin \alpha\cos \alpha=\frac{AH}{AC}.\frac{AC}{BC}=\frac{AH}{BC}\) (2)

Từ (1); (2) suy ra \(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\) (đpcm)

------------------------------

Áp dụng vào bài toán:

Ta có: \(\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)

\(S_{ABM}+S_{AMC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow \frac{MH.AB}{2}+\frac{MK.AC}{2}=\frac{CL.AB}{2}\)

\(\Leftrightarrow AB.\sin \frac{A}{2}.AM+\sin \frac{A}{2}.AM.AC=\sin A.AC.AB\)

\(\Leftrightarrow AM=\frac{\sin A.AB.AC}{\sin \frac{A}{2}.AB+\sin \frac{A}{2}.AC}=\frac{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}.AB.AC}{\sin \frac{A}{2}.AB+\sin \frac{A}{2}.AC}\)

\(\Leftrightarrow AM=\frac{2\cos \frac{A}{2}.AB.AC}{AB+AC}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{AM}=\frac{AB+AC}{2AB.AC\cos \frac{A}{2}}=\frac{1}{2\cos \frac{A}{2}}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})\)

Tương tự: \(\frac{1}{BN}=\frac{1}{2\cos \frac{B}{2}}(\frac{1}{BA}+\frac{1}{BC})\)

\(\frac{1}{CP}=\frac{1}{2\cos \frac{C}{2}}(\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA})\)

Cộng theo vế:

\(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}=\frac{1}{2\cos \frac{A}{2}}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2\cos \frac{B}{2}}(\frac{1}{BA}+\frac{1}{BC})+\frac{1}{2\cos \frac{C}{2}}(\frac{1}{CA}+\frac{1}{CB})\)

\(> \frac{1}{2}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2}(\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC})+\frac{1}{2}(\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA})\) (do \(\cos \alpha < 1\) vì cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}> \frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA}\)

Ta có đpcm.

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{MB}{MC}=\frac{S_{BIM}}{S_{CIM}}=\frac{S_{BAM}}{S_{CAM}}=\frac{S_{BAM}-S_{BIM}}{S_{CAM}-S_{CIM}}=\frac{S_{BAI}}{S_{CAI}}\)

\(\frac{NC}{NA}=\frac{S_{BNC}}{S_{BAN}}=\frac{S_{CNI}}{S_{ANI}}=\frac{S_{BNC}-S_{CNI}}{S_{BAN}-S_{ANI}}=\frac{S_{BIC}}{S_{BAI}}\)

\(\frac{PA}{PB}=\frac{S_{PAC}}{S_{PBC}}=\frac{S_{PAI}}{S_{PBI}}=\frac{S_{PAC}-S_{PAI}}{S_{PBC}-S_{PBI}}=\frac{S_{PAI}}{S_{BIC}}\)

Nhân 3 đẳng thức với nhau:

\(\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB}=1\) (đpcm)

Hình vẽ: